★梦想★ 2008-5-3 10:34
赌博、愛情、生活的獲勝機率(3)
寫給年輕賭鬼的信
機率的數學理論精髓在一次賭徒和數學家不尋常的合作下，於1600年代的法國出現。這位賭徒是謝瓦利埃‧德米爾（Chevalier de Mere），他希望找到能在歐洲賭場贏錢的方法。而這位數學家則是大名鼎鼎的哲學、物理學與數學大師巴斯卡。德米爾求助巴斯卡，詢問當時歐洲流行的兩種不同複雜賭博（稍後再討論）之獲勝機率。巴斯卡寫信給較年長的數學家──著名的費馬，透過他們兩人之間的魚雁往返，機率的數學原理於是誕生。這些原理在經過數個世紀的擴充後，即為本書的主題。
1 機率是什麼？
機率是人類想了解宇宙的不確定性，定義難下定義之事物的嘗試。機率是特定事件發生可能性的定量衡量指標。若我們確定某事件將發生，那就指定其機率為百分之百（100%）。如果我們確定某事件不會發生，那就指定其機率為百分之零（0%）。其他無法確定是否會發生的事件，指定的機率介於百分之零到百分之一百（或者，相當於0.00和1.00之間，這是機率嚴格的數學數值範圍）。若某事件的機率為0.5（也就是50%），那不發生的可能性也相同。機率為0.1的事件（10%），不太可能發生；而機率為0.9的事件（90%）則很有可能發生。當然，這些數字也可以用分數表示，於是0.1就成了1/10，而0.5則是1/2，依此類推。
以零到百分之百（也就是0.00和1.00）之間的數字指定機率，必須符合特定的邏輯法則和數學原理才算正確。這些原理與法則是由巴斯卡與費馬及其他人所推導出的原理。我們希望指定事件的機率正確；也就是說，經過時間的考驗，若對某事件進行多次試驗（例如，擲骰子後記錄結果），其機率應該要吻合結果。例如，我們指定骰子擲出「5」的機率為數字1/6。事實上，時間一久，公平骰子擲出的結果就有1/6會出現「5」。當早期人類在史前擲出骨骰時，他們可能就已發現所有次數中，約1/6會出現「5」。除非被長毛象追著到處跑，否則他們至少應該會注意到此現象。其他點數的情況亦然。不過我們是以其他方法導出機率理論，並非擲一百萬次骰子。機率的演進已是源遠流長。
你會發現了解機率理論非常實用。日常生活上早就應用基礎機率（是要花錢招計程車還是試試運氣乘地鐵？現在下高速公路去加油還是等看看有沒有更便宜的油價？）；不過更深入的了解，還可助你在商業、戀愛與生活的其他領域中，做出更佳決定。機率大師古德（I.J. Good）宣稱機率理論比人類還早出現。他的立論是動物具有機率的概念，掠食者在本能上能對獵物選擇哪一條脫逃路線，進行機率評估，然後往最可能的路線追下去。
2 就是這樣算：測量機率
我告訴你一個秘密：測量機率就和算數一樣簡單。只要計算某事件可能發生的次數，再將它除以所有可能發生的次數（當然我們計算的所有可能，發生的可能性都要相同──若某種可能性比其他更容易發生，那就必須再加計適當的權重，這部分稍後詳述）。例如，在擲公平骰子的過程中，有六種可能性相同的結果：1、2、3、4、5和6。怎麼知道呢？嗯，這是直覺，可能早期玩骨骰的人類也有相同的直覺。骰子的外型完全對稱（或至少理想狀況下是如此）；它有六個面；因此每個面出現的可能性都相同。
所有結果出現的可能性都相同的話，某種事件出現的機率，就是這種事件的結果總數與所有結果總數的比值。
例如，骰子擲出偶數的機率為何？在六個出現機會相同的數字（1、2、3、4、5、6）中，有三個偶數（2、4、6），因此答案為3/6=1/2，也就是50%。拉斯維加斯的人會說這叫做機會均等（even odds）。
現在讓我們來看紙牌遊戲。如果有副徹底洗過的牌，總共52張，那麼抽出「A」的機率為何？假設牌徹底洗過，因此從這副牌52張抽出任一張牌的機率都相同。因為在52張牌中，有四張「A」（紅心A、方塊A、梅花A與黑桃A）被選中的機會相同，其機率為4/52=1/13=0.0769 ，大約為8%。
3 隨便哪個都好：聯集定律
當我們想知道兩事件至少發生其中之一的機率時，可以應用一種定律加以計算，那就是「聯集定律」。聯集定律是這麼說的：
兩事件至少發生一個的機率，為這兩事件發生的機率總合，減去兩事件同時發生的機率。
一開始，你可能覺得唸起來拗口，不過很快地舉個例子，你就會明白這其實是很簡單的道理：我們從徹底洗過的一副牌中抽一張，它是紅心或A（或兩者皆是）的機率為何？按照上述的定律，答案為：紅心的機率＋A的機率－紅心A的機率。這麼做的理由是因為紅心A既是紅心又是A，因此必須將它的機率減去（不然就會因為重複計算而高估抽取紅心或A的機率）。